Potenciación

Bienvenidos al nuestro artículo de la potenciación, una operación matemática que involucra dos números, uno es la base (b) y el otro es el exponente (n), y se puede escribir de la siguiente manera: bn. Se lee usualmente como b elevado a n o b elevado a la n.

bn = y
b elevado a n = $\underbrace{ {\rm b\hspace{3px} x\hspace{7px} …\hspace{5px} x\hspace{3px} b} }_{\rm n\hspace{3px} veces}$

Qué es Potenciación?

Entonces, para saber qué es la potenciación de forma general podemos decir que cuando n es un número entero positivo, la potenciación corresponde a la multiplicación repetida de b, es decir la base, por el número de veces que señala n, es decir el exponente. Lo cual nos dice que bn es el producto de multiplicar el b por n bases.



En este caso, bn es llamado como la enésima potencia de b, o b elevado a la potencia n. Este es el nombre que se le da a la potencia de un número. Aquí tenemos algunos ejemplos de potenciación que pueden ayudar a tener una idea más clara de lo que significa. Por ejemplo 25, es llamado como la quinta potencia de 2 o, también puede ser llamado como, 2 elevado a la quinta potencia.

También podemos poner otro ejemplo para poder ver cuántas veces se debe multiplicar un número elevado a una potencia dada. Por ejemplo, 43, en este caso, el nombre que se le da a esta potencia, no es 4 elevado a la tercera, en realidad se le denomina 4 elevado al cubo, o la potencia cúbica de 4, y el exponente revela las veces que se debe multiplicar la base para obtener el producto, en este caso son 3 veces, teniendo que:

43 = 4 x 4 x 4 = 64

Es así como vemos que el exponente, usualmente se muestra como un superíndice a la derecha de la base, este es el signo elevado, que no tiene un símbolo específico, tan solo se pone el superíndice a manera un número más pequeño a la derecha y arriba del número base. Además, algunos exponentes tienen su propio nombre, como puede ser la potencia elevada a 2 que se denomina cuadrado, o la mencionada potencia elevada a 3 que es un cubo o potencia cúbica. Mientras que el exponente -1 de una base (b) es llamado el recíproco o inverso multiplicativo de b.

Así mismo, cuando el exponente (n) es un entero negativo, y la base no es igual a cero, bn es definido como 1/b-n, preservando de esta manera la propiedad bn x bm = bn+m.

Potenciación
y=b2, y=b3, y=b-2, y=-b2

Potenciación de Números Enteros

La potenciación de números enteros o potenciación exponentes enteros se puede definir de muchas maneras con estructuras algebraicas variadas, incluyendo las matrices. Es así que la potenciación es usada con mucha frecuencia en muchos campos de la ciencia, como son la economía, biología, química, física, computación y muchas otras materias relacionadas con el crecimiento exponencial, como es el crecimiento poblacional, las reacciones químicas, los intereses compuestos, entre muchos otros.

El término de potencia fue usado por Euclides, un matemático griego que nombraba así el cuadrado de una línea. Más adelante, es Arquímedes quien descubre y aprueba las leyes de los exponentes, con la propiedad de la multiplicación de exponentes con la misma base.
La potenciación en Z, se refiere a la potenciación de los números enteros. Ya que el universo de los números enteros está simbolizado por la letra $\mathbb{Z}$.

Ahora hablaremos sobre la potencia de exponente positivo, esto quiere decir que la potencia tiene un exponente que es un número natural, es decir que pertenece a los enteros positivos y, por ser $\mathbb{N}\hspace {3px}$ el símbolo de los números naturales, a esta potenciación se la conoce como potenciación en N, y es la más común de las potenciaciones, porque basta poner un número entero y elevarlo para otro número entero positivo, por ejemplo 24, que es igual a 16.

A continuación hablaremos sobre la potencia con exponente cero, en este caso, la multiplicación no tiene sentido, pues se debe multiplicar un número en 0 ocasiones. Entones los matemáticos han convenido en que la potencia de exponente 0, es igual a 1. Cualquiera que sea la base, o el número que va a ser elevado a 0, la respuesta siempre será 1.

También existe la potencia con exponente negativo, y en esta operación, que se conoce como identidad, la potencia se convierte en una fracción de la unidad. Es decir que la operación es inversa, por ser el exponente negativo. Y si tenemos una base (b) con un exponente negativo (-n) tenemos que:

b-n = 1/bn

Sabiendo esto, se puede ejemplificar con las siguientes potencias con exponente negativo:
5-3 = 1/53 = 1/125 = 0.008

Existen varias potencias, para muchos números, la potencia de 2 es aquella que eleva 2 a una potencia dada. La potencia de 3 es para el número 3, que debe ser multiplicado por un cierto número de veces. La potencia de 10, de igual manera. Además existen casos especiales como la potencia de 1, que siempre va a dar como resultado 1, pues al multiplicar uno por uno, el resultado siempre será 1. Y la potencia de -1 que depende del número al que sea elevado, dará como resultado 1 o -1. Si la potencia es par, entonces es positivo, si la potencia es impar, entonces es negativo. Y si la potencia es de -1, entonces la operación se vuelve una fracción de la unidad para el número base. Es decir b-1 = 1/b.

Potenciación de números racionales

Para hablar de la potenciación de números racionales se debe hablar de una enésima raíz de un número (b) que es un número x, tal como xn = b. Entonces, si b es un número positivo real, y n es un entero positivo, entonces la solución es llamada la raíz principal enésima de b y es denotada como $\sqrt[n]{b}\hspace {3px}$ donde √ es el símbolo radical; decimos esto porque como forma alternativa, la raíz principal se puede escribir como b1/n. por ejemplo: √4 = 41/2 = 2. O también se puede ejemplificar como ∛8 = 81/3 = 2.

La potenciación de números racionales también puede ser llamada potenciación en Q, por ser $\mathbb{Q}\hspace {3px}$ el símbolo de los números racionales. Y al ser raíces con diferente notación, podrás encontrar más información acerca de la raíz cuadrada, raíz cúbica y de enésima raíz en nuestro sitio raizcuadrada.co.

Potenciación de números reales

La potenciación exponentes reales es bastante compleja, ya que algunos de los números reales son irracionales, y esto implica que se debe usar una sucesión de racionales para su resolución. Donde hay un límite de sucesión que deberá ser materia de un estudio más extendido. En todo caso, no se puede obtener la respuesta exacta de una potencia de un número real irracional, ya que sus decimales son infinitos y siempre se obtendrá una respuesta aproximada cuando se opere con la potenciación en R, por ser $\mathbb{R}\hspace {3px}$ el símbolo de los números reales.

Si tienes cualquier pregunta nuestro artículo, déjanos un comentario o envíanos un email. Gracias por visitar potenciacion.com.
 
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