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Para entender las propiedades de la potenciación, se debe entender algunos elementos básicos de algebra.
Además, las propiedades de la potencia no poseen todas las propiedades e identidades de cualquier operación básica en matemáticas.
Por ejemplo, las propiedades de multiplicación son la conmutativa, asociativa, distributiva, etcétera, pero la potenciación no posee estas propiedades.
Las Propiedades de la Potenciación
Además las propiedades de la potenciación tienen identidades como la de la multiplicación, de la división, suma y resta.
Es por esto que las leyes de la potenciación están basadas en las operaciones matemáticas básicas, donde las identidades se utilizan pero las propiedades divergen.
Entonces, las operaciones con exponentes tendrán como identidades las siguientes ecuaciones, que resultan de exponentes enteros que tienen una base que no es igual a cero, esta condición se debe cumplir para que las identidades funcionen dentro de las propiedades de la potenciación.
Exponentes Enteros
Tenemos entonces, en primer lugar que un exponente que es la suma de dos números enteros, puede traducirse en una multiplicación de exponentes con la misma base, de la siguiente manera:
bm+n = bm × bn
Por otro lado, si tenemos una potencia dentro de un paréntesis y fuera de él también, entonces se puede realizar una distribución de los exponentes para que de esta manera se pueda multiplicar entre los mismos, de forma asociativa.
A esta identidad se le conoce como potencia de una potencia o potencia sobre potencia:
(bn)m = bn x m
Por otro lado, si se tiene entre paréntesis a dos números diferentes, pero están elevados a una sola potencia, entonces se puede distribuir de la siguiente manera llamado potencia de un producto:
(b × c) n = bn × cn
Potencia de un cociente: Si tienes una fracción dentro de un paréntesis, y por fuera de este hay un exponente, para resolver esta potencia tienes que elevar ambos números de la fracción para el mismo exponente.
(b/c)n = bn / cn
Las propiedades de la potenciación se aplican a los números enteros, lo cual quiere decir que se puede operar de forma sencilla cuando se opera con el universo de números enteros.
Por ejemplo, los exponentes enteros positivos.
Que inician con la siguiente condición: la potencia 1 da como resultado el mismo número baso, teniendo como ejemplo:
b1 = b
También se puede utilizar la separación de los exponentes, siempre y cuando se conserve la base.
A esto de las propiedades de la potenciación se le llama relación de recurrencia y se puede ejemplificar de la siguiente manera:
bn+1 = bn × b
Y, repitiendo la multiplicación asociativa, se puede sumar los exponentes, siempre y cuando el producto se efectúe entre potencias con la misma base:
bm+n = bm × bn
Retomando nuevamente, la multiplicación de exponentes, esta puede ser expresada mediante la siguiente ecuación:
(bn)m = bn x m
El exponente 0, por otro lado, a como resultado 1.
Y puede ser interpretado como un producto vacío, sea cual sea la base.
b0 = 1, porque la potencia de exponente 0 = bn / bn = bn-n = b0
Potencia de base 0: Si la base b = cero, entonces b no tiene inverso multiplicativo b-1
0n = 0 x … x 0 = 0
Los exponentes negativos se expresan como una fracción de la unidad:
b-n = 1/bn
Propiedades que no cumplen:
1. La potenciación no es conmutativa, como lo son la suma y la multiplicación, donde el orden de los factores no altera el producto, es decir que no se pueden intercambiar los términos para lograr el mismo resultado.
Si a + b = b + a, y también en la multiplicación a × b = b × a, no se puede decir que bn = nb.
Esto se puede explicar mejor con un pequeño ejemplo práctico.
Si tenemos 23, esto es igual a 8, pero si invertimos los términos, 32 es igual a 9.
Ya que 2 por 2 por 2, es igual a ocho, pero 3 por 3 es igual a 9.
Por lo tanto las propiedades de la potenciación no permiten cambiar el orden de los términos: bn ≠ nb cuando b ≠ n ≠ 0.
2. La potenciación también no es distributiva como la multiplicación y la suma, donde se puede obtener una operación como esta: 2 + 4 + 5 = 2 + (4 + 5).
Lo cual quiere decir que si se tiene un exponente, este no se puede asociar con otro, a menos que la base sea la misma, y en muchas ocasiones no es así.
(b+c)n ≠ bn + cn
(b-c)n ≠ bn – cn
3. La potenciación también no es asociativa: bcd ≠ bdc
Sigue leyendo sobre las propiedades de la potenciación:
Exponentes Racionales
Las propiedades de la potenciación se cumplen para los números racionales también, pero con la condición de que se trate de un exponente positivo.
Y se puede interpretar con la siguiente ecuación:
x = b1/n
Y esta ecuación se puede resolver de la siguiente manera:
xn = b
Pero si n es par, entonces esta ecuación tiene dos soluciones dentro de los números reales, la cual son la raíz enésima principal, y la raíz negativa.
Si n es impar, entonces, la solución solo es la raíz enésima principal positiva.
Exponentes Reales
En el caso de los números reales, todas las identidades que se mostraron antes, para los exponentes enteros, son verdaderas para los números positivos reales con exponentes no enteros también.
Sin embargo, la identidad (br)s = br x s, no puede extenderse a las operaciones donde b es un número real negativo.
La falla de esta identidad es la base de los problemas con potencias de números complejos bajo la falla de identidades de potencias y logaritmos.
La potenciación de exponentes reales con números reales positivos puede ser definida al extender las potencias racionales a reales, por continuidad, o más comúnmente como potencias a través de logaritmos.
Esto pone fin a nuestras propiedades de la potenciación.
– Artículo escrito por Mark, ultima actualización en 21. 07. 2023